Question

2．已知，等腰直角△PQR的三个顶点P、Q、R分别在等腰直角△ABC的三条边上，∠ACB=∠RPQ=90°．

（1）如图（1），当点P在AB边上时，求证：点P是AB中点；
（2）记△PQR，△ABC的面积分别为S_△PQR，S_△ABC，
①如图（2），当点P在BC上，且PR⊥AB时，$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{9}$；
②求$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先判断出点C，R，P，Q四点共圆，得出∠ACP=∠BCP即可得出结论；
（2）①先设出PC=a，再用等腰直角三角形的性质表示出BC=3a，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
②先设出PQ=PR=x，再用锐角三角函数表示出BC，最后用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）连接PC，
∵PQR是等腰直角三角形，
∴∠PQR=45°，
∵∠ACB=∠RPQ=90°．
∴点C，R，P，Q四点共圆，
∴∠ACP=∠PQR=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=∠BCP=45°，
∵AC=BC，
∴点P是AB的中点；

（2）①∵PR⊥AB，PR⊥PQ，
∴PQ∥AB，
设PC=a，在等腰直角三角形PCQ中，PQ=$\sqrt{2}$a，
∴PR=$\sqrt{2}$a，
在等腰直角三角形PBR中，PB=$\sqrt{2}$PR=2a，
∴BC=3a，
∴$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}P{Q}^{2}}{\frac{1}{2}{BC}^{2}}$=$\frac{（\sqrt{2}a）^{2}}{（3a）^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
故答案为$\frac{2}{9}$；

②如图，

设PQ=PR=x，∠PQC=α（0°＜α＜90°），
在Rt△PCQ中，PC=PQ•sinα=x•sinα，
过点R作RG⊥BC，
在Rt△PGR中，PG=PR•cosα=x•cosα，RG=PR•sinα=x•sinα，
∴BG=RG=x•sinα，
∴BC=PC+PG+BG=x•sinα+x•cosα+x•sinαα=x（2sinα+cosα），
∴$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}P{Q}^{2}}{\frac{1}{2}B{C}^{2}}$=（$\frac{1}{2sinα+cosα}$）²，
∵2sinα+cosα最大值为$\sqrt{5}$，
∴$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$的最小值为$\frac{1}{5}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了四点共圆，等腰直角三角形的性质和判定，锐角三角函数，三角形的面积公式，解（1）的关键是判断出点C，R，P，Q四点共圆，解（2）的关键是设出等腰直角三角形PQR的直角边，表示出等腰直角三角形ABC的直角边，是一道难度比较大的中考题．