题目内容
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．
（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD的度数．
（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．
（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．
分析 （1）根据CD⊥CA、∠AOC=90°知∠DCB=∠OAC，由∠CBD=90°可得∠DCB+∠CDB=90°，即∠CAO+∠CDB=90°；
（2）延长AP交MN于点E，结合（1）中结论，利用角平分线可得∠1+∠2=45°，再由平行线的性质和三角形外角性质可得；
（3）由AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx且∠OAC+∠CAx=180°可得∠PAQ=90°，同理知∠PDQ=90°，根据四边形内角和可得结论；
（4）设∠CAQ=2α、∠CQA=2β，由∠ACD=90°得2α+2β=90°即α+β=45°，根据角平分线的性质及平行线性质可得∠QDP=β，$∠CAQ=\frac{1}{2}$∠CAQ=α，由∠CQA=90°-α利用外角性质可得答案．
解答 解：（1）如图，∵CD⊥CA，
∴∠ACO+∠DCB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠DCB=∠OAC，
又∵∠CBD=90°，
∴∠DCB+∠CDB=90°，
∴∠CAO+∠CDB=90°；
（2）如图2，延长AP交MN于点E，
∵AP平分∠CAO、DP平分∠CDB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAO、∠2=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∵∠CAO+∠CDB=90°，
∴∠1+∠2=45°，
∵MN∥OA，
∴∠1=∠3，
∴∠APD=∠2+∠3=∠1+∠3=45°；
（3）∵AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠OAC、∠QAC=$\frac{1}{2}$∠CAx，
∵∠OAC+∠CAx=180°，
∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=$\frac{1}{2}$（∠OAC+∠CAx）=90°，
同理得∠PDQ=90°，
∴∠APD+∠AQD=360°-（∠PAQ+∠PDQ）=180°；
（4）∠APD的大小不变，为45°；
设∠CAQ=2α，∠CQA=2β，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAQ+∠CQA=90°，即2α+2β=90，α+β=45，
∵AO∥MN，
∴∠CQA=∠CDB=2β，
∵AQ平分∠CAQ、DB平分∠CDB，
∴∠QDP=$\frac{1}{2}$∠CDB=β，$∠CAQ=\frac{1}{2}$∠CAQ=α，
则∠CQA=90°-∠CAQ=90°-α，
∴∠APD=∠CQA-∠CDB=90°-α-β=45°．
点评 本题主要考查角平分线的性质、三角形外角性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质、三角形外角性质是解题的关键．
如图，在?ABCD中，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，对角线AC⊥AB．
为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？| A． | 投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 | |
| B． | 任意一个一元二次方程都有实数根 | |
| C． | 三角形的外心在三角形的外部 | |
| D． | 直角三角形的形斜边上的中线等于斜边的一般 |
