Question

5．在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+4x+4a（0＜a＜2）．
（1）当C₁与x轴有唯一交点时，求C₁的解析式；
（2）若A（1，y₁），B（0，y₂），C（-1，y₃）三点均在C₁上，连BC，作AE∥BC交抛物线C₁于E，求证：当a值变化时，E点在一条直线上；
（3）若a=1，将抛物线C₁先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C₂，抛物线C₂与x轴相交于M、N两点（M点在N点的左边），直线y=kx（k＞0）与抛物线C₂相交于点P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据与x轴有唯一交点，即△=0，即可求出a的值；
（2）用含a的式子表示出各点的坐标，根据待定系数法求出直线BC解析式，根据AE∥BC，求出直线AE的解析式，根据直线与抛物线相交，即可求出点E的横坐标，即可证明；
（3）根据题意，求出抛物线C₂的解析式，即可得到|OM|=|0N|，根据面积的关系，得到点P，点Q的横坐标之间的关系，再抛物线与直线相交，得到一元二次方程，利用根与系数的关系即可求得k值．

解答 （1）解：根据C₁与x轴有唯一交点，可得：△=b²-4ac=16-16a²=0，
解得：a=1，或a=-1（不合题意，舍去），
∴C₁的解析式为：y=x²+4x+4．
（2）证明：∵A（1，y₁），B（0，y₂），C（-1，y₃）三点均在C₁上，
∴A（1，5a+4），B（0，4a），C（-1，5a-4），且0＜a＜2，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，点B、C在直线BC上，得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4a}\\{-k+b=3a-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4-a}\\{b=4a}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=（4-a）x+4a，
由AE∥BC，可得直线AE的解析式为：y=（4-a）x+6a，
AE交抛物线C₁于E，可得：ax²+4x+4a=（4-a）x+6a，解得：x=-2或x=1（舍去），
∴点E在直线x=1的直线上．
（3）解：当a=1时，抛物线解析式为：y=x²+4x+4，
将抛物线C₁先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C₂的解析式为：y=x²-1，
∴可得点M（-1，0），N（1，0），
∴|OM|=|0N|，
设点P（x₁，kx₁），Q（x₂，kx₂），（x1＜0，x2＞0，k＞0），
由△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍，可知：kx₂=4（-kx₁），
即 x₂=-4x₁，
由y=kx且y=x²-1，可得：x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，且x₁•x₂=-1，且 x₂=-4x₁，
解得：${x}_{1}=-\frac{1}{2}$，x₂=2，$k=\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用，在第（3）小题中，能根据三角形的面积之间的关系，找到点P，点Q的横坐标之间的关系是解答此题的关键．