Question

14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（-3，0），B（0，3），点C在x轴上，AD⊥BC于D，交y轴于点E（0，1）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，将线段CB绕点C顺时针旋转90°后得线段CF，连接BF．求△BCF的面积；
（3）在图2中，若∠APO=45°，求证：PA⊥PB．

Answer 1

分析 （1）根据△AOE≌△BOC得OE=OC即可求出点C坐标．
（2）先求出AE，根据BC=CF=AE即可求出△BCF面积．
（3）由∠APO=∠ABO=45°得A、P、B、O四点共圆，得到∠BPO=∠OAB=45°，即∠APB=∠APO+∠BPO=90°得到证明．

解答 （1）解：∵AD⊥BC，
∴∠EAO+∠BCO=90°，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠EAO=∠CBO，
在△AOE或△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠CBO}\\{AO=BO}\\{∠AOE=∠BOC=90°}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOC，
∴OE=OC=1，
∴点C坐标（1，0）．
（2）∵△AOE≌△BOC，
∴BC=AE=$\sqrt{A{O}^{2}+E{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BC=CF=$\sqrt{10}$，∠BCF=90°，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$BC•CF=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{10}$$•\sqrt{10}$=5．
（3）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴A、P、B、O四点共圆，
∴∠BPO=∠OAB=45°，
∴∠APB=∠APO+∠BPO=90°，
∴PA⊥PB．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、四点共圆以及有关圆的有关知识，寻找全等三角形是解决问题的关键．