Question

8．已知下列等式：①2²-1²=3；②3²-2²=5；③4²-3²=7，…
（1）请仔细观察前三个等式的规律，写出第⑥个等式：7²-6²=13；
（2）请你找出规律，写出第n个等式，请说明等式成立；
（3）利用（2）中发现的规律计算；1+3+5+7+…+99．

Answer 1

分析 （1）由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此得出规律；
（2）等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第n个式子，根据整式的运算展开、合并即可验证；
（3）由3=2²-1²，5=3²-2²，7=4²-3²，…，将算式逐一变形，再寻找抵消规律．

解答 解：（1）依题意，得第⑥个算式为：7²-6²=13；
故答案为：7²-6²=13；

（2）根据几个等式的规律可知，第n个式子为：（n+1）²-n²=2n+1；
∵左边=n²+2n+1-n²=2n+1=右边，
∴（n+1）²-n²=2n+1；

（3）由（2）的规律可知，
1+3+5+7+…+99
=1+（2²-1²）+（3²-2²）+（4²-3²）+…+（51²-50²）
=51²
=2061．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．