Question

20．如图，AB为⊙O的直径，PB、PC分别是⊙O的切线，切点为B、C，PC、BA的延长线交于点D，DE⊥PO，交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠DPO=∠EDB；
（2）若PB=3，DB=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由切线长定理，知∠DPO=∠BPO，在△EOD和△BOP中，根据等角的余角相等，得∠BPO=∠EDB，从而问题得证．
（2）在Rt△PBD中由勾股定理易得PD的长、由切线长定理知PB=PC，可计算出CD的长；若设圆的半径为r，OD=4-r，OC=r，在Rt△DCO中，根据勾股定理得到关于r的方程，求出⊙O的半径．

解答 （1）证明：∵PC、PB是⊙O的切线，
∴∠DPO=∠OPB，
∵DE⊥PO，∴∠E=90°，
∵点B是切点，PB是切线
所以∠PBD=90°，
∴∠E=∠PBD，又∵∠POB=∠EOD
∴∠EDB=∠OPB
∴∠DPO=∠EDB

 （2）解：连接OC，
∵PC、PB是⊙O的切线，切点为B、C，
∴PB=PC，∠PCO=90°．
在Rt△PBD中，∵PB=3，DB=4，∴PD=5，
∴DC=PD-PC=2
设⊙O半径为r，则OD=BD-r=4-r
在Rt△DCO中，r²+2²=（4-r）²
∴r=1.5
即⊙O的半径为1.5．

点评 本题考查了勾股定理，切线长定理、切线的性质及一元二次方程的解法．解决本题（1）的关键是利用切线长定理得到∠DPO=∠OPB，由同角的余角相等得到∠BPO=∠EDB；解决（2）的关键是利用勾股定理得到关于半径的方程．