Question

【题目】如图,在中，，分别在边上，，，则线段的长为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如下图，构造△ABC的外接圆，利用圆周角与圆心角的关系，求得∠AHF=30°，从而得到△AGH与△AGF是含有30°的直角三角形，进而得到三角形各边长；然后证△AHE≌△ADE，在△AEH中利用余弦定理可求得AE长

如下图，作△ABC的外接圆，圆心为点O，过点E作AB的垂线，交AB于点F，交于点G，反向延长EF交于点H，连接AG、BG、AH

∵∠ABE=∠BAE，EF⊥AB，

∴AF=BF=，点O在AB的垂直平分线上，即点O在GH上

∴GH是的直径，点G是的中点

∴∠HAG=90°

∵∠C=60°

∴∠AHG=30°

∴∠AGH=60°

在Rt△AGF中，∵AF=

∴GF=1，AG=2

∴在Rt△AGH中，GH=4，AH=

∴AH=AD

设∠ABD=∠ADB=x

根据AB=AD和∠ABE=∠BAE可推导得：

∠BAD=180-2x，∠DAE=x-60，∠AEB=2x-60，∠ABE=∠BAE=120-x，∠EBC=2x-120

∴∠HAE=∠HAG－∠GAF-∠BAD－∠DAE=x-60

∴∠HAE=∠DAE

在△AHE与△ADE中

∴△AHE≌△ADE

∴EH=ED=1

∵EH=1，GF=1，HG=4，∴FE=2

∵AF=

∴在Rt△AEF中，AE=

故答案为：