Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，交轴正半轴于点，顶点为，对称轴交轴于点．

（1）如图1，求点的坐标；

（2）如图2，点为抛物线在第一象限上一点，连接交对称轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接，点为上一点，连接，，，若，求点横坐标的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）代入点(0，0)，先求出a的值，然后将二次函数配成顶点式，求出点D坐标；

（2）过点P作x轴垂线，交x轴于点K，ED交x轴于点B；设点，△PKO∽△EBO，可得到EB的长，加上BD的长即为ED的长；

（3）如下图，连接AG、AE，过点B、G分别作AG、x轴垂线，交于点M、N.先利用Rt△BGM求得BM、GM的长，在利用Rt△ABM得到tan∠BAG，然后结合Rt△ANG得到AN、GN的长，从而推导出ON的长，接着便可证△OGB是直角三角形，从而推导出∠EOB=30°，得出结论

（1）∵抛物线过点(0，0)，代入抛物线得：

0=0-0+28a-7，解得：

则抛物线为：

∴

（2）如下图，过点P作x轴垂线，交x轴于点K，ED交x轴于点B

设

∴PK=，OK=t

∵

∴

∴OB=

∵PK∥EB，∴△PKO∽△EBO

∴，即：

解得：

∴

（3）如下图，连接AG、AE，过点B、G分别作AG、x轴垂线，交于点M、N

设，∠GEA=120°

∵EB是AO的垂直平分线,∴EA=EO,∴

∴在△GEA中，∠EGA=∠EAG=

∴∠BGA=30°

∵抛物线解析式为：

可得：AB=2，OB=2

∵BG=2，∴在Rt△BGM中，BM=，GM=3

∴在Rt△ABM中，MA=5

∴

∵AG=3+5=8

∴在Rt△AGN中，GN=，AN=

∴NB=AN-AB=，∴ON=OB-BN=

∴在Rt△ONG中，OG=4

∴在△OGB中，三边满足勾股定理逆定理，即∠BGO=90°

∴，

∵，OB=2，∠EOB=30°

∴EB=OB，即(t-14)=

解得：