如图.已知直线y=-x+4与x轴.y轴分别相交于A.B两点．P.Q分别是x轴与y轴上的动点.点P从点A向x轴正方向移动.点Q从B点向点O移动.当点Q到达点0时.P.Q均停止运动.二者同时出发.速度相同．(1)求A.B两点的坐标,(2)设AP=t.△PAQ的面积为S.试求S与t的关系式,当S取最大值时.求PQ与AB的交点坐标,(3)若PQ交AB于点C.以QC为直径的圆交AB于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点．P、Q分别是x轴与y轴上的动点，点P从点A向x轴正方向移动，点Q从B点向点O移动，当点Q到达点0时，P、Q均停止运动，二者同时出发，速度相同．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设AP=t，△PAQ的面积为S，试求S与t的关系式；当S取最大值时，求PQ与AB的交点坐标；
（3）若PQ交AB于点C，以QC为直径的圆交AB于另一点D，试判断CD的长度是否随P、Q的移动而变化，并说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）因为直线y=-x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且A的纵坐标为0，B的横坐标为0，所以代入直线方程即得A、B坐标．
（2）表示面积只需知道底与高，其中AP，OQ是固定在坐标轴上的底和高，则易表示面积，进而根据函数最值性质求最大值即可．
（3）想得到是否变化的结论只能求出CD的长．连接QD发现有QD⊥AB，则由△BQD∽△BAO，因为A、B坐标已知，所以BD易求．同理（2），可以用t表示C点坐标，进而也可以表示BC，此时BC-BD就得到CD长了，若CD中有字母t即随P、Q的移动而变化，若无字母t，即不随变化．

解答：解：
（1）
对y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，4）．

（2）
∵AP=BQ=t，OB-4，
∴OQ=4-t，
∴S_△PAQ=

1

2

AP•OQ=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t，
∴根据二次函数最值性质，当t=-

2

2•(-

1

2

)

=2时，S取最大．
此时P（6，0），Q（0，2），
设PQ关系式为：y=kx+b，代入P、Q两点坐标，
解得

k=-

1

3

b=2

，
∴PQ：y=-

1

3

x+2．
∵C为AB与PQ的交点，
∴设C（x，y），其满足方程组

y=-x+4

y=-

1

3

x+2

，
解得

x=3

y=1

，
∴C（3，1）．

（3）
CD的长度不随P、Q的移动而变化，原因如下：

如图，记圆与y轴交点为M，连接QD，MC，此时QM⊥MC，QD⊥BC，
∵P（t+4，0），Q（0，4-t）
∴设PQ关系式为：y=kx+b，代入P、Q两点坐标，得方程组

0=k(t+4)+b

4-t=k•0+b

，
解得

k=

t-4

t+4

b=4-t

，
∴PQ：y=

t-4

t+4

x+4-t
∵C为AB与PQ的交点，
∴设C（x，y），其满足方程组

y=-x+4

y=

t-4

t+4

x+4-t

解得

x=

t+4

2

y=

4-t

2

∴C（

t+4

2

，

4-t

2

）．
在△BQD和△BAO中，

∠BQD=∠ABO

∠BDQ=∠BOA

，
∴△BQD∽△BAO，
∴

BD

BO

=

BQ

BA

在Rt△BAO中，
∵AO=BO=4，
∵BA=4

2

，
∴

BD

4

=

t

4

2

，
∴BD=

2

2

t．
∵MO=

4-t

2

，
∴BM=4-

4-t

2

=

t+4

2

，
在Rt△BCM中，
∵BC²=CM²+BM²=（

t+4

2

）²+（

t+4

2

）²，
∴BC=

t+4

2

2

，
∴CD=BC-BD=

t+4

2

2

-

2

2

t=2

2

．

点评：本题前两问都非常常规，考察了一次、二次函数性质和根据两点求直线方程．第三问也属于常规类型，不过计算上夹杂了字母，学生处理时易找不清方向，所以做题中一定要明确计算目标，有条件的话可以先写在演草纸上，避免混乱．

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