如图.已知直线y=-x+4与x轴.y轴分别相交于A.B两点．P.Q分别是x轴与y轴上的动点.点P从点A向x轴正方向移动.点Q从B点向点O移动.当点Q到达点0时.P.Q均停止运动.二者同时出发.速度相同．(1)求A.B两点的坐标,(2)设AP=t.△PAQ的面积为S.试求S与t的关系式,当S取最大值时.求PQ与AB的交点坐标,(3)若PQ交AB于点C.以QC为直径的圆交AB于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点．P、Q分别是x轴与y轴上的动点，点P从点A向x轴正方向移动，点Q从B点向点O移动，当点Q到达点0时，P、Q均停止运动，二者同时出发，速度相同．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设AP=t，△PAQ的面积为S，试求S与t的关系式；当S取最大值时，求PQ与AB的交点坐标；
（3）若PQ交AB于点C，以QC为直径的圆交AB于另一点D，试判断CD的长度是否随P、Q的移动而变化，并说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）因为直线y=-x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且A的纵坐标为0，B的横坐标为0，所以代入直线方程即得A、B坐标．
（2）表示面积只需知道底与高，其中AP，OQ是固定在坐标轴上的底和高，则易表示面积，进而根据函数最值性质求最大值即可．
（3）想得到是否变化的结论只能求出CD的长．连接QD发现有QD⊥AB，则由△BQD∽△BAO，因为A、B坐标已知，所以BD易求．同理（2），可以用t表示C点坐标，进而也可以表示BC，此时BC-BD就得到CD长了，若CD中有字母t即随P、Q的移动而变化，若无字母t，即不随变化．

解答：解：
（1）
对y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，4）．

（2）
∵AP=BQ=t，OB-4，
∴OQ=4-t，
∴S_△PAQ=

1

2

AP•OQ=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t，
∴根据二次函数最值性质，当t=-

2

2•(-

1

2

)

=2时，S取最大．
此时P（6，0），Q（0，2），
设PQ关系式为：y=kx+b，代入P、Q两点坐标，
解得

k=-

1

3

b=2

，
∴PQ：y=-

1

3

x+2．
∵C为AB与PQ的交点，
∴设C（x，y），其满足方程组

y=-x+4

y=-

1

3

x+2

，
解得

x=3

y=1

，
∴C（3，1）．

（3）
CD的长度不随P、Q的移动而变化，原因如下：

如图，记圆与y轴交点为M，连接QD，MC，此时QM⊥MC，QD⊥BC，
∵P（t+4，0），Q（0，4-t）
∴设PQ关系式为：y=kx+b，代入P、Q两点坐标，得方程组

0=k(t+4)+b

4-t=k•0+b

，
解得

k=

t-4

t+4

b=4-t

，
∴PQ：y=

t-4

t+4

x+4-t
∵C为AB与PQ的交点，
∴设C（x，y），其满足方程组

y=-x+4

y=

t-4

t+4

x+4-t

解得

x=

t+4

2

y=

4-t

2

∴C（

t+4

2

，

4-t

2

）．
在△BQD和△BAO中，

∠BQD=∠ABO

∠BDQ=∠BOA

，
∴△BQD∽△BAO，
∴

BD

BO

=

BQ

BA

在Rt△BAO中，
∵AO=BO=4，
∵BA=4

2

，
∴

BD

4

=

t

4

2

，
∴BD=

2

2

t．
∵MO=

4-t

2

，
∴BM=4-

4-t

2

=

t+4

2

，
在Rt△BCM中，
∵BC²=CM²+BM²=（

t+4

2

）²+（

t+4

2

）²，
∴BC=

t+4

2

2

，
∴CD=BC-BD=

t+4

2

2

-

2

2

t=2

2

．

点评：本题前两问都非常常规，考察了一次、二次函数性质和根据两点求直线方程．第三问也属于常规类型，不过计算上夹杂了字母，学生处理时易找不清方向，所以做题中一定要明确计算目标，有条件的话可以先写在演草纸上，避免混乱．

练习册系列答案

升学锦囊系列答案

师说系列答案

实验班培优训练系列答案

数理报系列答案

培优竞赛新方法系列答案

素养提升讲练系列答案

数学指导系列答案

导学与训练系列答案

导与学学案导学系列答案

地道中考系列答案

相关题目

已知-5.2x^m+1y³与-100x⁴yⁿ⁺¹是同类项，求：mⁿ+n^m．

-（-1）²⁰¹⁵+6cos60°-（2-

某校九年级主任为了更好地分析九年级一诊数学考试成绩，随机在本校抽取一部分九年级学生的数学一诊成绩，并将这些成绩分为五组：第一组是75～90，第二组是90～105，第三组是105～120，第四组是120～135，第五组是135～150，统计后得到如图1所示的不完整的成绩频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和图2所示的不完整的扇形统计图，根据图形的信息，回答下列问题：
（1）求出本次随机抽取该年级学生的人数，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于90分评为“D”，90～120分评为“C”，120～135分评为“B”，135～250分评为“A”．那么该年级1200名考生中，考试成绩评为“A”的学生有多少名？
（3）如果第一组只有一名是男生，第五组只有一名是女生，针对考试成绩情况，年级主任决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学相互交流．请你用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．

已知a，b是方程x²-5x+

=0的两根，
（1）求a+b和ab的值．
（2）求

如图：
与∠1是同位角的是

．
与∠1是内错角的是

．
与∠1是同旁内角的是

某商场有两件进价不同上衣均卖了80元，一件盈利60%，另一件亏本20%，这次买卖中商家（盈利或亏本）

如图，在平行四边形ABDC中，点M是CD的中点，AM与BC相交于点N，那么S_△ABN：S_△MCN等于

将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图（1）位置，则阴影部分面积是正方形A面积的

，将正方形A与B按图（2）放置，则阴影部分面积是正方形B面积的