Question

7．如图，己知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=$\sqrt{3}$．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作EF⊥AB垂足为F，连接CF，由△EBF≌△DBC，推出点E在AB的垂直平分线上，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△EBD是等边三角形，
∴BE=BD，∠EBD=60°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴∠EBF=∠DBC，
在△EBF和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFB=∠BCD=90°}\\{∠EBF=∠DBC}\\{EB=BD}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△DBC，
∴BF=BC，EF=CD，
∵∠FBC=60°，
∴△BFC是等边三角形，
∴CF=BF=BC，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB=，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AF=FB，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，正确找到点E的运动路线，属于中考常考题型．