Question

13．如图，△ABC中，∠ABC=90°．
（1）请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，切点为Q；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）若AB=3，BC=4，求第（1）题中所作圆的半径；
（3）连结BQ，第（2）中的条件均不变，求sin∠CBQ．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分线交BC于P点，然后以点P为圆心，PB为半径作圆即可；
（2）连结PQ，如图，先计算出AC=5，设半径为r，BP=PQ=r，PC=4-r，再证明Rt△CPQ∽Rt△CAB，则可利用相似比计算出r即可；
（3）先利用切线长定理得到AB=AQ，加上PB=PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，则利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦定义求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．

解答 解：（1）如图，⊙P为所作；
（2）连结PQ，如图，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
设半径为r，BP=PQ=r，PC=4-r
∵AB与⊙P相切于Q，
∴PQ⊥AC，
∵∠PCQ=∠ACP，
∴Rt△CPQ∽Rt△CAB，
∴$\frac{PQ}{AB}$=$\frac{CP}{CA}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
即所作圆的半径为$\frac{3}{2}$；
（3）∵AB、AQ为⊙P的切线，
∴AB=AQ，
∵PB=PQ，
∴AP为BQ的垂直平分线，
∴∠BAP+∠ABQ=90°，
∵∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴∠CBQ=∠BAP，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠BAP=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠CBQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和三角函数的定义．