Question

3．圆的半径为1，AB是圆中的一条弦，AB=$\sqrt{3}$，则弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．

Answer 1

分析 如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，根据垂径定理得到AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则利用余弦的定义可得到∠OAH=30°，接着根据三角形内角和可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出∠C和∠C′的度数即可．

解答 解：如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OAH=30°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∴∠C′=180°-∠C=120°，
即弦AB所对的圆周角为60°或120°．
故答案为60°或120°．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．