Question

11．如图，为了拧开一个边长为a的正六边形六角形螺帽，扳手张开b=30mm时正好把螺帽嵌进，则螺帽的边长a最大为10$\sqrt{3}$mm．

Answer 1

分析 根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．

解答 解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=$\frac{AM}{AB}$，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=30mm，
∴a=AB=$\frac{AM}{cos30°}$=$\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10$\sqrt{3}$（mm）．
故答案为：10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解