Question

14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$．求：
（1）向量$\overrightarrow{DC}$（用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示）；
（2）tanB的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．
（2）由△DFC∽△BAC，推出$\frac{DC}{BC}$=$\frac{CF}{CA}$=$\frac{1}{2}$，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由tanB=$\frac{AC}{BC}$，即可解决问题．

解答 解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AC平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵DE∥AB，AB⊥AC，
∴DE⊥AC，
∴AF=CF，
∴BE=CE，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．

（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，
∴△DFC∽△BAC，
∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{CF}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∵CD=AD=3，∴BC=6，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．