Question

15．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=18°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，旋转角为θ，得到△A′B′C．
（1）如图1，当θ为何值时，点A恰好落在A′B′上；
（2）如图2，当0°＜θ＜90°时，设B′C与AB相交于点D，连接B′B，若△B′DB为等腰三角形，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）先利用互余计算出∠BAC=72°，再根据旋转的性质得到CA=CA′，∠BAC=∠A′=18°，∠ACA′=θ，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACA′即可；
（2）根据旋转的性质得∠BCB′=θ，CB=CB′，则∠CB′B=∠CBB′，然后分类讨论：设∠BDB′=x，当BB′=BD时，利用等腰三角形的性质得∠BDB′=∠DBB′=x，则∠DBB′=∠CBB′=x+18°，再由三角形内角和得到x+x+x+18°=180°，解方程求出x后利用三角形外角性质求θ；当BB′=DB′时，利用前面的方法计算即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=18°，
∴∠BAC=90°-18°=72°，
∵△ABC绕顶点C逆时针旋转，旋转角为θ，得到△A′B′C，
∴CA=CA′，∠BAC=∠A′=18°，∠ACA′=θ，
∴∠CAA′=∠A′=72°，
∴∠ACA′=180°-2×72°=36°，
即θ的值为36°；
（2）∵△ABC绕顶点C逆时针旋转，旋转角为θ，得到△A′B′C，
∴∠BCB′=θ，CB=CB′，
∴∠CB′B=∠CBB′，
设∠BDB′=x，
当BB′=BD时，则∠BDB′=∠DBB′=x，
∴∠DBB′=∠CBB′=x+18°，
在△BDB′中，x+x+x+18°=180°，解得x=54°，
而∠BDB′=∠BCB′+∠CBD，
∴θ+18°=54°，解得θ=36°；
当BB′=DB′时，则∠BDB′=∠DB′D=∠CBB′=x，
∴∠DBB′=x-18°，
在△BDB′中，x+x+x-18°=180°，解得x=66°，
而∠BDB′=∠BCB′+∠CBD，
∴θ+18°=66°，解得θ=48°．
综上所述，θ的值为36°或48°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和．