Question

8．如图，抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，把△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′，AB边上的点O平移到点O′．
（1）求点B、C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）在平移的过程中，设点B关于直线A′C′的对称点为点F，当点F落在直线AC上时，求△ABC平移的距离；
（3）在平移过程中，连接CA′，CO′，求△A′CO′周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过解方程$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标，然后利用对称性可确定抛物线的对称轴；
（2）根据轴对称的性质对称BM=FM，由平移的定义可知A′M∥AC，根据平行线分线段成比例定理即可证得AA′=BA′=$\frac{5}{2}$，从而求得平移的距离为$\frac{5}{2}$；
（3）过A点作AN⊥x轴，且AN=OC，易证得△NAA′≌△COO′，得出A′N=CO′，根据两点之间线段最短，当△A′CO′周长的最小时，A′在直线NC上，即∠AA′N=∠CA′O，即可根据AAS证得△NAA′≌△COA′，得出AA′=OA′，NA′=NA′，然后根据勾股定理求得CA′=$\sqrt{13}$，即可求得三角形周长的最小值．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=0，解得x₁=1，x₂=-4，则A（-4，0），B（1，0），
当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=3，则C（0，3）；
抛物线的对称轴是直线x=$\frac{-4+1}{2}$=-$\frac{3}{2}$；
（2）∵点B和点F关于直线A′C′的对称，
∴BM=FM，
由平移的定义可知A′M∥AC，
∴$\frac{BA′}{AA′}$=$\frac{BM}{FM}$=1，
∴AA′=BA′=$\frac{1}{2}$AB，
∵A（-4，0），B（1，0），
∴AB=5，
∴AA′=BA′=$\frac{5}{2}$，
∴△ABC平移的距离为$\frac{5}{2}$；
（3）过A点作AN⊥x轴，且AN=OC，
∴∠NAA′=∠COO′=90°，
在△NAA′和△COO′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=CO}\\{∠NAA′=COO′}\\{AA′=OO′}\end{array}\right.$
∴△NAA′≌△COO′（ASA），
∴A′N=CO′，
当△A′CO′周长的最小时，A′在直线NC上，
即∠AA′N=∠CA′O，
在△NAA′和△COA′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AA′N=∠CA′O}\\{∠NAA′=∠COA′}\\{AN=OC}\end{array}\right.$
∴△NAA′≌△COA′（AAS），
∴AA′=OA′，NA′=NA′，
∴CA′=CO′，
∵OA=4，
∴AA′=OA′=2，
∴OO′=2，
∴A′O′=4，
∵OC=3，
∴CA′=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△A′CO′周长的最小值为4+2$\sqrt{13}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理的运用以及三角形全等的判定和性质，（3）能够判断当△A′CO′周长的最小时，A′在直线NC上是本题的难点．