Question

已知抛物线y=-x²+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA=2OB，求二次函数的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：分类讨论：当A（-2a，0），B（a，0），根据根与系数的关系得到-2a+a=2（m+1），-2a•a=-（m+3），消去a得到m的方程2•4（m+1）²=m+3，解得m=

-15± 65

16

（舍去正号）；当A（2a，0），B（-a，0）时，同样可解得m=

-15± 65

16

（舍去负号）；当A（-2a，0），B（-a，0）或当A（2a，0），B（a，0）时，用同样的方法得到关于m的方程无解，然后写出满足条件的两个二次函数解析式．

解答：解：当A（-2a，0），B（a，0），则-2a+a=2（m+1），-2a•a=-（m+3），则a=-2（m+1），
∴2•4（m+1）²=m+3，解得m=

-15± 65

16

（由于m+1＜0，正号舍去），
∴此时抛物线的解析式为y=-x²+

1- 65

8

x+

33- 65

16

；
当A（2a，0），B（-a，0），则2a-a=2（m+1），2a•（-a）=-（m+3），则a=2（m+1），
∴2•4（m+1）²=m+3，解得m=

-15± 65

16

（由于m+1＞0，负号舍去），
∴此时抛物线的解析式为y=-x²+

1+ 65

8

x+

33+ 65

16

；
当A（-2a，0），B（-a，0），则-2a-a=2（m+1），2a•a=-（m+3），则a=-

2

3

（m+1），
∴2•

4

9

（m+1）²=-m-3，
整理得8m²+25m+35=0，此方程无解；
当A（2a，0），B（a，0），则2a+a=2（m+1），2a•a=-（m+3），则a=

2

3

（m+1），
∴2•

4

9

（m+1）²=-m-3，
整理得8m²+25m+35=0，此方程无解，
综上所述，二次函数的解析式为y=-x²+

1+ 65

8

x+

33+ 65

16

或y=-x²+

1- 65

8

x+

33- 65

16

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．