Question

16．如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，AB是⊙O的直径，BC=CD，过点C作PM⊥AD交AD的延长线于点M，交AB的延长线于点P．
（1）求证：PM是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD=6，求CM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据弦，弧，圆心角的关系得到∠DAC=∠CAO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到∠M=∠OCP，于是得到结论；
（2）连接BD交OC于E，根据垂径定理得到OC⊥BD，根据圆周角定理得到BD⊥AM，推出四边形CMDE是矩形，根据矩形的性质得到CM=DE，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵BC=CD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴∠M=∠OCP，
∵PM⊥AM，
∴OC⊥PM，
∴PM是⊙O的切线；

（2）连接BD交OC于E，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AM，
∴四边形CMDE是矩形，
∴CM=DE，
∵BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
∴CM=DE=$\frac{1}{2}$BD=4．

点评 本题考查了切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．