Question

20．已知直线l₁，l₂分别是一次函数y=2x+2和y=-x+5的图象，两直线相交于点M，直线l₁交x轴于点A，交y轴于点B，直线l₂交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）在同一坐标系下画出直线l₁、l₂，并求出点M的坐标；
（2）求△MBC面积和BC的长度；
（3）求点M到直线BC的距离；
（4）若点O到直线l₁、l₂的距离分别为h₁和h₂，则h₁+h₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）在同一坐标系内画出函数图象，并求出点M的坐标即可；
（2）连接BC，由S_△MBC=S_△ACM-S_△ABC即可得出结论；
（3）根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（4）先利用Rt△OAB的面积求出h₁的长，再利用△OCD的面积求出h₂的长即可．

解答 解：（1）如图，由图可知M（1，4）；

（2）S_△MBC=S_△AMC-S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4-$\frac{1}{2}$×6×2=12-6=6．
∵OB=2，OC=5，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{4+25}$=$\sqrt{29}$；

（3）设点M到直线BC的距离为h，
∵S_△MBC=6，BC=$\sqrt{29}$，
∴$\frac{1}{2}$BCh=6，即$\frac{\sqrt{29}}{2}$h=6，解得h=$\frac{12\sqrt{29}}{29}$；

（4）∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴h₁=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∵CD=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴h₂=$\frac{5×5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴h₁+h₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．