题目内容

在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线 $数学公式$ （k₁＞0）上一点，点A
的横坐标为1，过点A作平行于 y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线 $数学公式$ （k₂＜0）交于点C．x轴上一点D（m，0）位于直线AC右侧，AD的中点为E．
（1）当m=4时，求△ACD的面积（用含k₁，k₂的代数式表示）；
（2）若点E恰好在双曲线 $数学公式$ （k₁＞0）上，求m的值；
（3）设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为D（2，0）时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k₁的值，并直接写出线段CF的长．

解：（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k₁），C（1，k₂）．（如图1）
∵k₁＞0，k₂＜0，
∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC=k₁-k₂．
当m=4时， $\text{[math]}$ ．

（2）作EG⊥x轴于点G．（如图2）
∵EG∥AB，AD的中点为E，
∴△DEG∽△DAB， $\text{[math]}$ ，G为BD的中点．
∵A，B，D三点的坐标分别为A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴点E的坐标为 $\text{[math]}$ ．
∵点E恰好在双曲线 $\text{[math]}$ 上，
∴ $\text{[math]}$ ．①
∵k₁＞0，
∴方程①可化为 $\text{[math]}$ ，

解得m=3．

（3）当点D的坐标为D（2，0）时，由（2）可知点E的坐标为 $\text{[math]}$ ．（如图3）
∵S_△BDF=1，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴OF=2．
设直线BE的解析式为y=ax+b（a≠0）．
∵点B，点E的坐标分别为B（1，0）， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
解得 a=k₁，b=-k₁．
∴直线BE的解析式为y=k₁x-k₁．
∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k₁＞0，
∴点F的坐标为F（0，-k₁），OF=k₁．
∴k₁=2．
∵A点坐标为（1，2），D点坐标为（2，0），
∴设一次函数解析式为y=kx+b，

将A（1，2），D（2，0）分别代入解析式得，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故函数解析式为y=-2x+4，
又∵AD∥FC，
设FC的解析式为y=-2x+c，
将F（0，-2）代入解析式得，c=-2，
故函数解析式为y=-2x-2．
当x=1时，k₂=-4．
C点坐标为（1，-4），
故线段CF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于A、C的横坐标相同，则AC的长即为A、C的纵坐标之差，根据m=4，可求出BD的长，进而的得出三角形的面积；
（2）作EG⊥x轴于点G，判断出△DEG∽△DAB，再根据A，B，D三点的坐标分别为A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），以及G为BD的中点，求出E的表达式，代入反比例函数解析式，即可求出m的值；
（3）根据S_△BDF=1，求出OF=2，将点B，点E的坐标分别代入解析式，求出直线BE的解析式为y=k₁x-k₁．再求出AD的解析式，根据平行直线的性质求出FC的解析式，得到C点作标，从而求出F从的坐标．
点评：本题考查了反比例函数的相关问题，涉及图形与坐标的关系、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式等知识，综合性很强，要认真对待．