Question

如图①，在等腰直角三角板ABC中，斜边BC为2个单位长度，现把这块三角板在平面直角坐标系xOy中滑动，并使B、C两点始终分别位于y轴、x轴的正半轴上，直角顶点A与原点O位于BC两侧．
（1）取BC中点D，问OD+DA是否发生改变，若会，说明理由；若不会，求出OD+DA；
（2）你认为OA的长度是否会发生变化？若变化，那么OA最长是多少？OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形？并说明理由；
（3）填空：当OA最长时A的坐标（

2

，

2

），直线OA的解析式

y=x

．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到OD=

1

2

BC=2×

1

2

=1，则不随三角板的移动而改变，因而OD+DA不会改变；
（2）根据两点之间线段最短，即可得到当O、D、A三点在一直线上时，OA最长，即可求解；
（3）当O、D、A三点在一直线上时，OA最长，且此时OA是第一象限的角平分线，据此即可求解．

解答：解：（1）OD=

1

2

BC=2×

1

2

=1，则OD+DA=2．

（2）∵OD=DA=1始终不变，
∴当O、D、A三点在一直线上时，OA最长等于2．
这时，四边形OBAC的对角线相交于点D，有DO=DB=DA=DC=1，OA=BC=2，
∵四边形OBAC是矩形，
又∵AB=AC，
∴四边形OBAC是正方形．

（3）A（

2

，

2

）  
直线OA是∠BOC的角平分线，则解析式是：y=x．

点评：本题主要考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确理解OD的长度不变是解题的关键．