Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-

4

9

(x-2)2+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=

2 5

5

．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若

HE

HF

=

1

2

时，求点P的坐标；
（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=-

4

9

(x-2)2+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=

2 5

5

，求出c的值，进而求出抛物线方程；
（2）如图1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可证△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例关系，求出P点坐标；
（3）首先求出D点坐标，写出直线MD的表达式，由两直线平行，两三角形相似，可得NG∥MD，直线QG解析式．

解答：解：（1）∵M为抛物线y=-

4

9

(x-2)2+c的顶点，
∴M（2，c）．
∴OH=2，MH=|c|．
∵a＜0，且抛物线与x轴有交点，
∴c＞0，
∴MH=c，
∵sin∠MOH=

2 5

5

，
∴

MH

OM

=

2 5

5

．
∴OM=

5

2

c，
∵OM²=OH²+MH²，
∴MH=c=4，
∴M（2，4），
∴抛物线的函数表达式为：y=-

4

9

(x-2)2+4．

（2）如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，
∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM．
∴△OEH∽△HFM，
∴

HE

MF

=

HO

MH

=

1

2

，
∵

HE

HF

=

1

2

，
∴MF=HF，
∴∠OHP=∠FHM=45°，
∴OP=OH=2，
∴P（0，2）．
如图2，同理可得，P（0，-2）．


（3）∵A（-1，0），
∴D（1，0），
∵M（2，4），D（1，0），
∴直线MD解析式：y=4x-4，
∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，
∴

AN

AM

=

ON

MH

=

AO

AH

=

1

3

，
∴AN=

5

3

，ON=

4

3

，N（0，

4

3

）．
如图3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，
∴直线QG解析式：y=4x+

4

3

，
如图4，若△ANG∽△ADM，可得

AN

AD

=

AG

AM

∴AG=

25

6

，
∴G（

19

6

，0），
∴QG：y=-

8

19

x+

4

3

，
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：y=4x+

4

3

或y=-

8

19

x+

4

3

．

点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会应用三角形相似定理，本题步骤有点多，做题需要细心．