题目内容
【题目】已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合）, 动点F在射线AC上，连结DE, DF.
(1)如图1，当∠DEB=∠DFC=90°时，直接写出DE与DF的数量关系;
(2)如图2，当∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明；
(3)当点E,D,F在同一条直线上时，
①依题意补全图3；
②在点E运动的过程中，是否存在EB=FC？ （ 填“存在”或“不存在” ）.
【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF；证明见解析；（3）①见解析，②不存在
【解析】
（1）证明△BED≌△CFD，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，根据同角的补角相等，得出∠GED=∠DFC，根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，再根据角平分线的性质得出DG=DH，即可证明△EGD≌△FHD，从而得出结论；
（3）①根据题意补全图形即可；
②假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．证明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，进而得到G与B重合．由BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，从而得到结论．
（1）DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵D是BC的中点，∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
（2）猜想：DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：
连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∴∠EGD=∠FHD=90°．
∵∠DEB+∠GED=180°，
∠DEB+∠DFC=180°，
∴∠GED=∠DFC．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH．
在△EGD和△FHD中，
∵
，
∴△EGD≌△FHD，
∴DE=DF．
（3）①作图如下：
②不存在．理由如下：
假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．
∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EGB，
∴BE=EG．
∵BE=CF，
∴EG=CF．
在△EGD和△FCD中，
∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，
∴△EGD≌△FCD，
∴GD=CD．
∵BD=CD，
∴BD=GD，
∴G与B重合．
∵BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，
∴BE=CF不成立，
∴在点E运动的过程中，不存在EB=FC．
