Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，

（1）求作⊙O，圆心O是AD的中垂线与AB的交点，OD为半径．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）

（2）求证：BC是⊙O切线．

（3）若BD=5，DC=3，求AC的长．

Answer 1

【答案】(1)作图见解析；（2）证明见解析；（3）6.

【解析】

（1）由中垂线的尺规作图得到点O，再作圆即可；

（2）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．

（3）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．

解：（1）如图，⊙O即为所求；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切线．

（3）过点D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴

∴

∴AC=6．