Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O外，连接OC，OC⊥AB，弦BD交OC于点E，CD=CE
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连接OD，如图1，由CD=CE得∠1=∠2，由CO⊥AB得∠3+∠5=90°，由于∠2=∠3，则∠1+∠5=90°，再加上∠4=∠5，所以∠1+∠4=90°，于是可根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AD，如图2，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理计算出AD=5，再证明Rt△BOE∽Rt△BDA，利用相似比可计算出BE=

169

24

，然后利用DE=BD-BE进行计算．

解答：（1）证明：连接OD，如图1，
∵CD=CE，
∴∠1=∠2，
∵CO⊥AB，
∴∠3+∠5=90°，
而∠2=∠3，
∴∠1+∠5=90°，
∵OB=OD，
∴∠4=∠5，
∴∠1+∠4=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∵AB=13，BD=12，
∴AD=

AB2-BD2

=5，
∵∠OBE=∠DBA，
∴Rt△BOE∽Rt△BDA，
∴

BE

AB

=

BO

BD

，即

BE

13

=

13 2

12

，
∴BE=

169

24

，
∴DE=BD-BE=12-

169

24

=

119

24

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．