Question

14．设a、b、c是实数，若a+b+c=2$\sqrt{a+1}$+4$\sqrt{b+1}$+6$\sqrt{c-2}$-14，则$\frac{a+c}{b+2a}$=$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 先移项，再利用配方法得到a+1-2$\sqrt{a+1}$+1+b+1-4$\sqrt{b+1}$+4+c-2-6$\sqrt{c-2}$+9=0，即有（$\sqrt{a+1}$-1）²+（$\sqrt{b+1}$-2）²+（$\sqrt{c-2}$-3）²=0，然后根据非负数的性质解得a=0，b=3，c=11，最后代入求得数值．

解答 解：∵a+b+c=2$\sqrt{a+1}$+4$\sqrt{b+1}$+6$\sqrt{c-2}$-14，
∴a+1-2$\sqrt{a+1}$+1+b+1-4$\sqrt{b+1}$+4+c-2-6$\sqrt{c-2}$+9=0，
∴（$\sqrt{a+1}$-1）²+（$\sqrt{b+1}$-2）²+（$\sqrt{c-2}$-3）²=0，
∴$\sqrt{a+1}$-1=0，$\sqrt{b+1}$-2=0，$\sqrt{c-2}$-3=0，
∴a=0，b=3，c=11，
则$\frac{a+c}{b+2a}$=$\frac{11}{3}$．
故答案为：$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，主要利用完全平方公式a²±2ab+b²=（a±b）²分组分解解决问题．