Question

20．如图，△ABC的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线组成第三个三角形，依此类推．
（1）若△ABC的周长为1，则第2014个三角形的周长是多少？第n个三角形的周长呢？
（2）若S_△ABC=1，则第2014个三角形的面积是多少？第n个三角形的面积呢？

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理证明三角形相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比解答；
（2）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方解答．

解答 解：（1）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的周长之比是1：2，
则第二个三角形的周长为$\frac{1}{2}$，
第三个三角形的周长为$\frac{1}{4}$，
则第2014个三角形的周长是$\frac{1}{{2}^{2013}}$，第n个三角形的周长$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的面积之比是1：4，
则第二个三角形的面积为$\frac{1}{4}$，
第三个三角形的面积为$\frac{1}{16}$，
则第2014个三角形的面积是$\frac{1}{{4}^{2103}}$，第n个三角形的面积$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、相似三角形的周长之比等于相似比、面积之比等于相似比的平方是解题的关键．