Question

19．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西75°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求出管道MN的长度（精确到0.1米）．

Answer 1

分析 过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，设MN=x．先解Rt△ANM，求出AN=$\sqrt{3}$x，再解Rt△NCM，求出CN=x，根据AC=2000列出方程，解方程即可．

解答 解：如图，作MN⊥AC，垂足为N．设MN=x．
由题意得：∠MAC=30°，∠MCA=45°．
在Rt△ANM中，∵∠MAN=30°，MN=x，
∴AN=$\sqrt{3}$x．
在Rt△NCM中，∵∠MCN=45°，
∴CN=MN=x．
∵AC=2000，
∴$\sqrt{3}$x+x=2000，
解得x=1000$\sqrt{3}$-1000≈732.1．
答：管道MN的长度约为732.1米．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，其中涉及到平行线的性质，方向角的定义，等腰直角三角形的性质，垂线段最短的性质，含30度角的直角三角形三边的关系等知识，难度不大．正确作出高线，构造直角三角形是解题的关键．