Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AB=BO=2，∠AOB=30°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标，用待定系数法求之即可；
（2）由∠AOB=30°，所以只需求出∠BOM即可，也就只需求∠BOM的正切即可；
（3）分两种情况讨论：①$\frac{BA}{BC}=\frac{OA}{OM}$；②$\frac{BC}{BA}=\frac{OA}{OM}$．

解答 解：（1）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H．

∵AB=BO，
∴∠∠OAB=∠AOB=30°，
∴∠ABH=60°，
在Rt△ABH中，AB=2，
∴BH=1，AH=$\sqrt{3}$，
∴A（3，$\sqrt{3}$），
∵抛物线与x轴交于O、B（2，0）两点，
设y=ax（x-2），代入点A（3，$\sqrt{3}$），可得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x（x-2）$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x$；
（2）由$y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）^{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
得抛物线的顶点M的坐标为（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$tan∠BOM=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOM=30°，
∴∠AOM=60°；
（3）由A（3，$\sqrt{3}$），、B（2，0）、M（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∵AH⊥x轴，∠AOB=30°，
∴AO=2AH=$2\sqrt{3}$，
∵M（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），∠BOM=30°，
∴$OM=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{OA}{OM}=3$，
当点C在点B左侧时，∠ABC=120°，△AMO中不可能出现120°的角，不存在满足条件的点；
当点C在点B右侧时，∵∠ABC=∠AOM=60°，
∴△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图2，当$\frac{BA}{BC}=\frac{OA}{OM}=3$时，$BC=\frac{1}{3}BA=\frac{2}{3}$．此时C（$\frac{8}{3}$，0）；

②如图3，当$\frac{BC}{BA}=\frac{OA}{OM}=3$时，BC=3BA=3×2=6．此时C（8，0）．

综上所述，C点的坐标为（$\frac{8}{3}$，0）或（8，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、特殊角的三角函数、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，有一定综合性，难度适中．第（3）问注意分类讨论．分类讨论之前，可先通过分析排除不存在的情况，使解答过程得以简化．