Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P在AC边上，过P点作直线MN交BC延长线于N，交AB于M，且∠APM=∠A．
求证：点M在BN的垂直平分线上．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：先根据两角互余的性质得出∠A+∠B=90°，∠N+∠CPN=90°，再由对顶角相等可得出∠CPN=∠APM，因为∠APM=∠A可知∠N+∠A=90°，故∠B=∠N，由此可得出结论．

解答：证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠N+∠CPN=90°．
∵∠CPN与∠APM是对顶角，
∴∠CPN=∠APM．
∵∠APM=∠A，
∴∠N+∠A=90°，
∴∠B=∠N，即BM=MN，
∴点M在BN的垂直平分线上．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．