Question

在平面直角坐标系xOy中，点A，点B，点C的坐标分别为（5，0），（10，0），（0，-5）．
（1）求过点B，C两点的一次函数解析式；
（2）若直线BC上有一动点P（m，n），以点O，A，P为顶点的三角形面积相等，求P点坐标；
（3）若y轴上有一动点Q，使以点Q，A，C为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出Q点坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先设直线BC的解析式为：y=kx+b，由点B、点C坐标分别为（10，0），（0，-5）．利用待定系数法即可求得过B、C两点的一次函数解析式；
（2）由以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，OA=OC，可得点P的横坐标与纵坐标的绝对值相等，即可求得P点坐标；
（3）分别从AQ=CQ，AQ=AC，CQ=AC去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点B、点C坐标分别为（8，0）、（0，-4）．
∴

10k+b=0 b=-5

，
解得：

k= 1 2 b=-5

．
故过B、C两点的一次函数解析式为：y=

1

2

x-5：

（2）设P的坐标为：（m，

1

2

m-5），
∵点A、点C坐标分别为（5，0）、（0，-5）．
∴OA=OC=5，
∵以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，
∴|

1

2

m-5|=|m|，
即

1

2

m-5=m或

1

2

m-5=-m，
解得：m=-10或m=

10

3

，
故P的坐标为：（-10．-10）或（

10

3

，-

10

3

）；

（3）连接AC，
∵OA=OC=5，
∴AC=

OA2+OC2

=5

2

，
如图所示：①若AQ=CQ，则点Q₁（0，0）；
②若AQ=AC，则点Q₂（0，5）；
③若CQ=AC=5

2

，则Q₃（0，5

2

-5）或Q₄（0，-5

2

-5）；
综上可得：点Q的坐标分别为：（0，0）、（0，5）、（0，5

2

-5）、（0，-5

2

-5）．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．