Question

如图，点M的坐标为（13，0），点A在第一象限，AB⊥x轴，垂足为B，tan∠AOB=

3

2

．
（1）sin∠AOB=

 

；
（2）如果△AOM是等腰三角形，求点A的坐标；
（3）设直线MA与y轴相交于点N，以M、O、N为顶点的三角形与△AOB相似的情况是否存在？如果存在，请直接写出点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据锐角三角函数的定义，可得正弦函数值；
（2）分类讨论：OA=AM，AO=OM，MA=OM，根据等腰三角形的性质，可得二元二次方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得

AB

ON

=

OB

OM

，

AB

OM

=

OB

ON

，根据比例的性质，可得

ON

OM

=

AB

OB

=

3

2

，

OM

ON

=

AB

OB

，根据解方程组，可得大答案．

解答：解：（1）设点A为（x，y）
因为点A在第一象限，AB⊥x轴
tan∠AOB=

y

x

=

3

2

①，
y=

3

2

x，
OA=

x2+y2

=

13

2

x，
ain∠AOB=

AB

OA

=

3 2 x

13 2 x

=

3 13

13

，
故答案为：

3 13

13

；
（2）当AO=AM时，则AO²=AM²，
即x²+y²=（13-x）²+y² ②
由①②得

y= 3 2 x x2+y2=(13-x)2+y2

，
解得

x= 13 2 y= 39 4

，
即A（

13

2

，

39

4

）
当OA=OM时，则MA²=OM²，
即x²+y²=169     ③
由①③得

y= 3 2 x x2+y2=169

，
解得

x=2 13 y=3 13

，
即A（2

13

，3

13

  ）；
当MA=OM时，则MA²=OM²，
即（13-x）²+y²=169    ④
由①④得

y= 3 2 x (13-x)2+y2=169

，
解得

x=8 y=12

，

x=0 y=0

（不符合题意的要舍去），
即A（8，12），
综上所述：△AOM是等腰三角形，求点A的坐标是（

13

2

，

39

4

），（2

13

，3

13

  ），（8，12）；
（3）存在A点，以M、O、N为顶点的三角形与△AOB相似，
当△OAB∽△MON时，

AB

ON

=

OB

OM

，

ON

OM

=

AB

OB

=

3

2

，
ON=

3

2

OM=

39

2

，N（0，

39

2

），
直线MN y=-

3

2

x+

39

2

④，
由①④得

y= 3 2 x y=- 3 2 x+ 39 2

，
解得

x= 13 2 y= 39 4

，
A（

13

2

，

39

4

）；
当△OAB∽△NMO时，

AB

OM

=

OB

ON

，

OM

ON

=

AB

OB

，
ON=

OB

AB

•OM=

2

3

×13=

26

3

，N（0，

26

3

），
直线MNy=-

2

3

x+

26

3

⑤，
由①⑤得

y= 3 2 x y=- 2 3 x+ 26 3

，
解得

x=4 y=6

，
A（4，6），
综上所述：A（4，6），（

13

2

，

39

4

）时，以M、O、N为顶点的三角形与△AOB相似．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了三角函数的定义，等腰三角形的定义，相似三角形的性质，综合性较强，题目稍有难度．