题目内容
如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从D出发以1个单位每秒的速度往C运动，动点Q从A出发以3个单位每秒的速度经B往C运动，若P、Q同时出发，其中一个点运动到C时，另一点也随即停止运动，连结PA、PQ，若记△APQ的面积为y，运动时间为x秒．（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当Q在AB上时，求使△APQ的面积与四边形QBCP的面积相等时的x的值；
（3）连结BD，是否存在某个时刻使PQ∥BD？若存在，求出x的值，并求此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）分Q点在AB上和Q点在BC上两种情况分别求解；
（2）当Q在AB上时，PC=4-x，BQ=4-3x，利用面积相等可以解出x；
（3）分Q点在AB上和Q点在BC上两种情况分别讨论，Q在AB上时显然不成立，当Q在BC上时，CB=CD要使PQ∥BD，只要CP=CQ，列出方程可求出x，代入解析式可求得面积．
（2）当Q在AB上时，PC=4-x，BQ=4-3x，利用面积相等可以解出x；
（3）分Q点在AB上和Q点在BC上两种情况分别讨论，Q在AB上时显然不成立，当Q在BC上时，CB=CD要使PQ∥BD，只要CP=CQ，列出方程可求出x，代入解析式可求得面积．
解答：解：（1）由题意可知：
当0≤x≤
时，y1=
AQ•AD=
×3x×4=6x，
当
＜x≤
时，y2=
CQ•CP=
×（8-3x）×（4-x）=-
x2+2x+8，
（2）当Q在AB上时，PC=4-x，BQ=4-3x，由题意得可得6x=
×4×（4-x+4-3x），解得x=
，且
＜
，故符合题意；
（3）存在，理由如下：
连结BD，显然，当x≤
时，PQ与BD不平行；
当
＜x≤
时，
∵在正方形ABCD中，∠C=90°，CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
要使PQ∥BD，只要CP=CQ，
即4-x=8-3x，
解得x=2，
此时CP=CQ=2，（P、Q分别为CD、CB的中点）．
S△APQ=y2=-
x2+2x+8=6，
即当x=2时PQ∥BD，此时△APQ的面积为6．
当0≤x≤
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）当Q在AB上时，PC=4-x，BQ=4-3x，由题意得可得6x=
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 4 |
| 3 |
（3）存在，理由如下：
连结BD，显然，当x≤
| 4 |
| 3 |
当
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∵在正方形ABCD中，∠C=90°，CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
要使PQ∥BD，只要CP=CQ，
即4-x=8-3x，
解得x=2，
此时CP=CQ=2，（P、Q分别为CD、CB的中点）．
S△APQ=y2=-
| 3 |
| 2 |
即当x=2时PQ∥BD，此时△APQ的面积为6．
点评：本题主要考查正方形有关性质的综合应用，解题的关键是化动为静，即利用时间表示出线段的长度，利用图形的有关性质列出方程求解．
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