题目内容

（1）尝试：如图，已知A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC=90°，
求证：AE•BE=AD•BC．
（2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC，则（1）中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．

（3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得∠APE=∠ABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．

（1）证明：∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，

∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴AE•BE=AD•BC；

（2）证明：∵∠A=∠B=∠DEC，

∠A+∠D=∠1+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴AE•BE=AD•BC；

（3）解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠APE=∠ABC

∴∠B=∠C，∠B+∠BAP=∠APE+∠EPC，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵AB=4，BC=9，点E为CD的中点，
∴CE=2，假设BP=x，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴x²-9x+8=0，
解得：x₁=1，x₂=8．
∴当BP为1或8时，点E为CD的中点．
分析：（1）利用已知得出∠D=∠CEB，以及∠A=∠B即可得出△ADE∽△BEC，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠D=∠CEB，进而求出△ADE∽△BEC，即可得出 $\text{[math]}$ ；
（3）假设点E为CD的中点，利用△ABP∽△PCE，得出比例式求出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的判定是初中阶段考查的重点同学们应重点掌握．

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重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得∠APE=∠ABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．

如图，已知AB∥CD，分别猜想出下列四个图形中∠A，∠C，∠P的关系，并尝试说明你的理由．

如图，要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，你能根据测量的过程把已知的条件和未知的条件用数学语言叙述出来吗？请尝试着说一说．

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请你说说这是为什么．

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求证：AE•BE=AD•BC．
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（3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得∠APE=∠ABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．