Question

如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠AFB=∠D．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系，有了AD，AB的长，只需求出AE的长即可．通过解直角三角形ABE求出AE的长，这样就能求出BF的长了．

解答：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
又∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
又∠BAE=30°，AB=4，
∴AE=

AB

cos30°

=

4

3 2

=

8 3

3

∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴

BF

AD

=

AB

AE

．即

BF

3

=

4

8 3 3

，
∴BF=

3 3

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质．相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．