Question

9．如图，海中有一个小岛B，它的周围14海里内有暗礁，在小岛正西方有一点A测得在北偏东60°，方向上有一灯塔C，灯塔C在小岛B北偏东15°方向上20海里处，渔船跟踪鱼群沿AC方向航行，每小时航行10$\sqrt{2}$海里．
（1）如果渔船不改变航向继续航行，有没有触礁危险？请说明理由．
（2）求渔船从A点处航行到灯塔C，需要多少小时？（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AC于H，根据余弦的概念求出BH，比较即可判断；
（2）根据正切的概念求出AH，求出AC的长，根据渔船的速度计算即可．

解答 解：（1）渔船不改变航向继续航行，没有触礁危险．
作BH⊥AC于H，
由题意得，∠CAB=30°，∠ABC=105°，
则∠ABH=60°，∠HBC=45°，
∴BH=BC×cos∠HBC=10$\sqrt{2}$，
∵10$\sqrt{2}$＞14，
∴渔船不改变航向继续航行，没有触礁危险；
（2）HC=BH=10$\sqrt{2}$，
AH=$\frac{BH}{tan∠CAB}$=10$\sqrt{6}$，
∴AC=AH+HC=10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{6}$，
则渔船从A点处航行到灯塔C，需要的时间为：（10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{6}$）÷10$\sqrt{2}$=1+$\sqrt{3}$，
答：渔船从A点处航行到灯塔C，需要（1$+\sqrt{3}$）小时．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．