Question

16．已知二次函数y₁=ax²+bx+c的图象可以由二次函数y₂=-2x²的图象平移得到且经过点（2，-10）和（0，6）．
（1）求二次函数y₁的表达式，并写出此函数图象顶点D的坐标；
（2）求二次函数y₁=ax²+bx+c的图象与x轴交点坐标；
（3）若ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，则写出k的取值范围为k＜8；
（4）若m≤x≤m+4时，-10≤y₁≤8，则m的值为-4或-2．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y₁=ax²+bx+c的图象可以由二次函数y₂=-2x²的图象平移得到，得到a=-2，将（2，-10）和（0，6）代入y₁=ax²+bx+c得方程组，于是得到结论；
（2）令y=0，则-2x²-4x+6=0，解方程即可得到结论；
（3）由-2x²-4x+6=k有两个不相等的实数根，得到不等式即可得到结论；
（4）根据题意列不等式即可得到结论．

解答 解：（1）∵二次函数y₁=ax²+bx+c的图象可以由二次函数y₂=-2x²的图象平移得到，
∴a=-2，
将（2，-10）和（0，6）代入y₁=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-8+2b+c=-10}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴y₁=-2x²-4x+6；
（2）令y=0，则-2x²-4x+6=0，解得：x₁=1，x₂=-3，
∴二次函数y₁=-2x²-4x+6的图象与x轴交点坐标为（1，0），（-3，0）；
（3）∵-2x²-4x+6=k有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）²-4×（-2）×（6-k）＞0，
∴k＜8；
故答案为：k＜8；
（4）∵-10≤y₁≤8，
∴-10≤-2x²-4x+6≤8，
当-10≤-2x²-4x+6时，解得：-4≤x≤2，
∵m≤x≤m+4，
∴m=-4，或m=-2，
当-2x²-4x+6≤8时，不符合m≤x≤m+4．
∴m=-4，或m=-2．
故答案为：-4或-2．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，解不等式，根据题意列不等式是解题的关键．