Question

12．在矩形ABCD中，AD=4，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，EB=$\frac{1}{2}$OB，求AE的长．

Answer 1

分析 由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=4，即可求得AE的长．

解答 解：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OB，
∵EB=$\frac{1}{2}$OB，AE⊥BD，
∴OA=AB  即OA=AB=OB，
∴△ABO是等边三角形．
即：∠ABO=60°
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠ADO=30°，
在Rt△AED中，∠AED=90°，∠ADO=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2．

点评 此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．