Question

14．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，平移中的△ABF为△A₁B₁F₁设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．
①当点F分别平移到线段AB上时，求出m的值
②当点F分别平移到线段AD上时，当直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AE交于点O，当∠A′BD=∠FAB时，请直接写出OB的长．

Answer 1

分析 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，分两种情形分别求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{20}{3}）^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$AB•AD，
∴AE=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{5×\frac{20}{3}}{\frac{25}{3}}$=4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD-B′D=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，即m=$\frac{16}{3}$．

（3）如图3中，设AE交BA′于K．

∵∠KBE=∠FAB=∠BAE，∠KEB=∠AEB，
∴△EKB∽△EBA，
∴可得BE²=EK•EA，
∴EK=$\frac{9}{4}$，
 在Rt△BEK中，BK=$\sqrt{B{E}^{2}+K{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴A′K=5-$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵∠A′=∠KBE，
∴OA′∥BE，
∴$\frac{OK}{KE}$=$\frac{A′K}{BK}$，
∴$\frac{OK}{\frac{9}{4}}$=$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{15}{4}}$，
∴OK=$\frac{3}{4}$，
∴AO=AE-OK=KE=1．
如图4中，当∠DBA′=∠BAF时，点A′在线段BC上，

易证∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，设OA=OB=x，
在Rt△OBE中，∵OB²=OE²+BE²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴OA=$\frac{25}{8}$，
综上所述，满足条件的OA的长为1或$\frac{25}{8}$．

点评 本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．