Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（1），PQ是该抛物线对称轴l上的动线段，且PQ=1，直接写出PC+QB的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）若点M为抛物线上异于F的一个动点，在第（3）问△ADF的面积S取最大值的情况下，若S_△MAD=3S_△ADF，请直接写出M点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）过点C作直线l的对称点E，过点E作EG⊥AB于G，过点Q作QF∥PE，交EG于点F，连接FB，如图1．易得PC+QB=PE+QB=FQ+QB，根据两点之间线段最短可得：FQ+QB（即PC+QB）最小值为FB，只需在Rt△FGB中运用勾股定理即可解决问题．
（3）运用待定系数法可求出直线AD的解析式，由点E的横坐标为m可用m的代数式表示出点E、F的坐标，从而表示出EF的长，进而表示出△ADF的面积，然后运用配方法就可解决问题．
（4）过点M作MN⊥DH，交直线AD于N，交直线DH于Q，如图3．运用割补法可用MN表示出△ADM的面积，然后根据条件即可得到MN的值．设点M的坐标为（n，-n²-2n+3），则点N的坐标为（n-

3

2

，-n²-2n+3），将点N的坐标代入直线AD的解析式，求出n的值，就可得到点M的坐标．

解答：解：（1）把A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c，得：

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

．
则抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．
 
（2）过点C作直线l的对称点E，过点E作EG⊥AB于G，过点Q作QF∥PE，交EG于点F，连接FB，如图1．

则有PC=PE，EF∥PQ．
∵EF∥PQ，QF∥PE，
∴四边形EFQP是平行四边形，
∴EF=PQ=1，EP=FQ，
∴PC=FQ，
∴PC+QB=FQ+QB，
根据两点之间线段最短可得：FQ+QB（即PC+QB）最小值为FB．
∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为x=-1，C（0，3），
∴点E的坐标为（-2，3），
∴点F的坐标为（-2，2）．
在Rt△FGB中，
FG=2，GB=1-（-2）=3，
根据勾股定理可得：FB=

FG2+GB2

=

13

．
∴PC+QB的最小值为

13

．

（3）∵抛物线y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点D的坐标为（-1，4）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A（-3，0），D（-1，4），
∴

-3k+b=0 -k+b=4

，
解得：

k=2 b=6

，
∴直线AD的解析式为y=2x+6．
∵点E的横坐标为m，
∴E（m，2m+6），F（m，-m²-2m+3），
∴EF=-m²-2m+3-（2m+6）=-m²-4m-3，
∴S=S_△DEF+S_△AEF
=

1

2

EF•GH+

1

2

EF•AG
=

1

2

EF•AH
=

1

2

（-m²-4m-3）×2
=-m²-4m-3
=-（m+2）²+1，
∴当m=-2时，S最大值为1．

（4）过点M作MN⊥DH，交直线AD于N，交直线DH于Q，如图3．

S_△ADM=S_△DMN+S_△AMN
=

1

2

MN•DQ+

1

2

MN•QH
=

1

2

MN•DH
=2MN．
由题可得：S_△ADM=2MN=3，
∴MN=

3

2

．
设点M的坐标为（n，-n²-2n+3），
则点N的坐标为（n-

3

2

，-n²-2n+3）．
∵点N在直线AD上，
∴-n²-2n+3=2（n-

3

2

）+6，
整理得：n²+4n=0，
即n（n+4）=0，
解得：n₁=0，n₂=-4．
∴点M的坐标为（0，3）或（-4，-5）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短、解一元二次方程、勾股定理等知识，而在解决问题的过程中用到了待定系数法、配方法、割补法、因式分解法等重要的数学方法，是考查学生能力的一道好题．