Question

18．如图（1），△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD所在直线高BE所在的直线的交点

（1）请你猜想BH和AC的关系，并说明理由；
（2）若将图（1）中的∠A改成钝角，请你在图（2）中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由（注：一个三角形中有两个内角相等，那么这两个内角所对的边也相等）．

Answer 1

分析 （1）根据条件可以得出△BDH≌△ADC就可以得出BH=AC；
（2）先根据条件画出图形，再证明△BDH≌△ADC就可以得出结论．

解答 解：
（1）BH=AC．

理由：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=∠BAD，
∴BD=AD．
在△BDH和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DAC}\\{BD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC；
（2）成立，BH=AC．

理由：如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠AEH=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，∠CBE+∠DHB=90°，
∴∠DHB=∠C．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=∠BAD，
∴BD=AD．
在△BDH和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHD=∠C}\\{BD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．