Question

9．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=3$\sqrt{2}$，∠C=90°，Rt△PMN的直角顶点P在线段AB上，PM、PN分别交于AC、BC于点E、F，PA：PB=1：2，∠BPF=15°，则EF的长为$\frac{2\sqrt{30}}{3}$．

Answer 1

分析 过P作PG⊥BC于G，PD⊥C于D，根据矩形得出CD=PG，CG=PD，求出AP=2，BP=4，解直角三角形求出PE、AD、PG、PF，根据勾股定理求出EF即可．

解答 解：过P作PG⊥BC于G，PD⊥C于D，

则∠ADP=90°，∠PGF=90°，∠CDP=∠C=∠PGC=90°，
∴四边形CDPG是矩形，
∴CD=PG，CG=PD，
∵在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=6，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=6，∠A=∠B=45°，
∵∠BPF=15°，
∴∠PFG=∠B+∠BPF=60°，
∴∠GPF=30°，
∴PF=2GF，
∵PA：PB=1：2，AB=6，
∴AP=2，BP=4，
∵∠EPF=90°，∠BPF=15°，
∴∠EPA=75°，
∵∠A=45°，∠PDA=90°，
∴∠PDA=45°=∠A，
∴∠EPD=75°-45°=30°，AD=DP，
在Rt△ADP中，AD=PD=AP×sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△PDE中，DE=PD×tan30°=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，PE=2DE=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
CD=PG=AC-AD=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PGF中，由勾股定理得：GF²+（2$\sqrt{2}$）²=（2GF）²，
解得：GF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，PF=2GF=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：EF=$\sqrt{P{E}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{30}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能求出PE和PF的长是解此题的关键．