Question

17．若方程x²+2ax+2a²-1=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是-1≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据方程x²+2ax+2a²-1=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x²+2ax+2a²-1=0至少有一个正根?（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．

解答 解：△=（2a）²-4×1×（2a²-1）=-4a²+4，
（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±1，
若a=1，此时方程x²+2x+1=0的根x=-1不符合条件，舍去，
若a=-1，此时方程x²-2x+1=0的根x=1符合条件；
（2）当方程有两个根时，△＞0可得-1＜a＜1，
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有2a²-1≤0，
解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
而a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时不合题意，舍去．
 所以-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$符合条件；
②若方程有两个正根，则$\left\{\begin{array}{l}{-2a＞0}\\{2{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上，-1≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：-1≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，熟练掌握根的判别式及分类讨论思想的运用是关键．