Question

6．直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．

Answer 1

分析 （1）如图2中，延长NP交BM的延长线于G．只要证明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根据直角三角形斜边中线定理即可证明．
（2）结论：PM=PN．延长NP交BM于G，证明方法类似（1）．
（3）如图4中，延长NP交BM于G．先证明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再证明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因为AN=CM，所以MG=MN，即可证明PM⊥PN．

解答 （1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BG∥CN，
∴∠PCN=∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCN=∠PBG}\\{∠CPN=∠GPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△PNC≌△PGB，
∴PN=PG，
∵∠NMG=90°，
∴PM=PN=PG．

（2）解：结论：PM=PN．
如图3中，延长NP交BM于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BM∥CN，
∴∠PCN=∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCN=∠PBG}\\{∠CPN=∠GPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△PNC≌△PGB，
∴PN=PG，
∵∠NMG=90°，
∴PM=PN=PG．

（3）如图4中，延长NP交BM于G．

∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠EAN=∠ACM，
在△EAN和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENA=∠AMC=90°}\\{∠EAN=∠ACM}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAN≌△CAM，
∴EN=AM，AN=CM，
∵EN∥CG，
∴∠ENP=∠CGP，
在△ENP和△CGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENP=∠CGP}\\{∠EPN=∠CPG}\\{EP=PC}\end{array}\right.$，
∴△ENP≌△CGP，
∴EN=CG=AM，PN=PG，
∵AN=CM，
∴MG=MN，
∴PM⊥PN．

点评 本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．