Question

18．已知，如图，抛物线y=-x²+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点M是对称轴上任意点，当△MBC是等腰三角形，则点M的坐标为（1，3+$\sqrt{17}$）或（1，3-$\sqrt{17}$）或（1，$\sqrt{14}$）或（1，-$\sqrt{14}$）或（1，1）．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式，求出与x轴、y轴的交点坐标及对称轴，根据△MBC是等腰三角形，从MB=BC，MB=MC，BC=MC三个角度求出点C的坐标即可．

解答 解：当y=0时，-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0），B（3，0），
当x=0时，y=3，即C（0，3），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
∵抛物线y=-x²+2x+3，
∴对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2}{-2}=1$，
∵△MBC是等腰三角形，
∴MB=BC，MB=MC，BC=MC，
如图，①当MC=BC=3$\sqrt{2}$时，由勾股定理得：M₁（1，3+$\sqrt{17}$），M₂（1，3-$\sqrt{17}$），
②当MB=BC=3$\sqrt{2}$时，由勾股定理得：M₃（1，$\sqrt{14}$），M₄（1，-$\sqrt{14}$），
③当BM=CM时，作线段BC的垂直平分线交对称轴于点M₅，
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴由等腰直角三角形的对称性，可知，BC的垂直平分线经过点O，并且平分∠BOC，
∴即直线OM₅的解析式为y=x，
∴点M₅（1，1），
综上所述，点M的坐标为：（1，3+$\sqrt{17}$）或（1，3-$\sqrt{17}$）或（1，$\sqrt{14}$）或（1，-$\sqrt{14}$）或（1，1）．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的性质，解决此题的关键是分类讨论思想的应用．