Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，F、D是BC上两点，E是AF延长线上一点，∠B=∠1，∠E=∠2，BF=kDE．试探究AB、BC、DE之间的数量关系．（用含有k的代数式表示）

Answer 1

分析 延长BC到G，使BG=AB，由∠B=∠1，∠2=∠E，得到DE=DF，$\frac{DE}{DF}=\frac{BG}{AB}$=1，推出△DEF∽△BAG，于是得到∠G=∠2=∠CFA，证得△GAF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到CG=CF，设ED=x，则FD=x，FB=kxBC=kx=CF，①，由于GC=CF=GB-BC，②，于是得到BC-kx=GB-BC，即可得到结论．

解答 证明：延长BC到G，使BG=AB，
∵∠B=∠1，∠2=∠E，
∴DE=DF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BG}{AB}$=1，
∴△DEF∽△BAG，
∴∠G=∠2=∠CFA，
∴△GAF是等腰三角形，
∵AG⊥GF，
∴CG=CF，
∵AB=GB，GB=GC=BC，
设ED=x，则FD=x，FB=kxBC=kx=CF，
∵GC=CF=GB-BC，
∴BC-kx=GB-BC，
∵GB=AB，
∴2BC=kDE=AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．