Question

【题目】如图，在中，，以为直径的圆交于点，交于点，以点为顶点作，使得，交延长线于点，连接、，延长交于点．

（1）求证：为的切线；

（2）求证：；

（3）若，且，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明详见解析；（3）5

【解析】

（1）根据直径所对圆周角是直角，结合等边对等角，证明，即可证明；

（2）先证明，结合，即可证明；

（3）根据以及，列出半径的方程，即可求得结果.

（1）证明：∵为直径，∴，即，

又∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

即∴直径，

∴为的切线

（2）∵，∴，

∵为直径，∴，

∴，∴，

∴，又∵，

∴，

（3）设的半径为，则，

由，设，

∵，，为直径，

∴，，，

∴，∴，

即，①

在中，，可得：，

∴，∴，即，

∵，∴②

由①②解得：，，

∴的半径为5．