Question

【题目】如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点，连接．

（1）求的值；

（2）求证：四边形是菱形；

（3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，，请解决以下相关问题：

①写出关于的函数解析式；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）①，②存在，满足条件的的值为或．

【解析】

（1）由翻折可知：．，设，则在中，利用勾股定理构建方程即可EC的长，再求FC的长，再求的值即可；
（2）先证四边形是平行四边形，再由AD=AF,即可证得四边形是菱形；

（3）①证明∽，可得，由此即可解决问题．
有两种情形：如图中，当时如图中，当时，作于分别求解即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵四边形是矩形，

∴，，

∴，

由翻折可知：．，设，则．

在中，，

∴，

在中，则有：，

∴，

∴,

∴EF=DE=5,FC==4,

∴==;

（2）由翻折可知：∠DAE=∠FAE,AD=AF,

∵,

∴∠DAE=∠FGA,

∴∠FAG=∠FGA,

∴AF=FG,

∴AD=FG,

∴四边形是平行四边形，

又∵AD=AF,

∴四边形是菱形；

（3）①如图2中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

②存在．有两种情形：如图3-1中，当时，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

如图3-2中，当时，作于．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

由，可得，

∴，

∴，

∴．

综上所述，满足条件的的值为或．