Question

【题目】如图，是的直径，点为上一点，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，在射线上取点，使．

（1）求证：是的切线；

（2）当点是的中点时，

①若，判断以，，，为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若，且，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①四边形是菱形，理由见解析；②5.

【解析】

（1）连接，利用和再进行等量代换证明OC⊥FC即可；

（2）①先证明，均为等边三角形，求得，即可求解；

②利用三角函数，和勾股定理求出AC,BC,再利用垂径定理求出HB，利用三角形面积公式求出PE,再求出OP,BP,DP即可.

解：（1）证明：如图1，连接，

，

，

，

，

，

是的切线．

（2）如图2，连接，OE交CB于点H.

①以为顶点的四边形是菱形．理由如下：

是直径，，

，，

点是的中点，

，

，均为等边三角形，

四边形是菱形；

②，设，，

由勾股定理得，即，解得，

，，

∵AB=20，

∴OE=OB=10，

点是的中点，

，，

，即，解得：，

由勾股定理得，

，

，即

．