Question

【题目】已知菱形的对角线交于点是直线上任意一点(异于点)，过点作平行于 的直线交直线于点，交直线于点．

（1）当点在线段上时，如图 ①，易证: (不用证明)；

（2）当点在线段的延长线上时，如图 ②;当点在线段的延长线上时，如图 ③，线段之间又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想，并选择其中一种情况加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）图②的结论为；图③的结论为；详见解析.

【解析】

（1）先解直角三角形AOB得出AO=，由菱形的性质得到AC=，延长FP交AB于点G，证明四边形AGFD是平行四边形得到AC=FG，再证明PE=PG即可得到答案；

（2）在②中延长FE交BC的延长线于G，可证得PF=PG，再证明四边形ACGE为平行四边形可得AC=EG，可证得；在③中，延长CB交EF于点G，可证明PG=PF，可得到

（1）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴∠OAB=30°，∠AOB=90°，，

∴

∴

∴

延长FP交AB于点G，

∵AB//CD，AC//FG

∴四边形ACFG是平行四边形，

∴AC=FG(平行四边形的对边相等)

∵EG//AC，

∴ (被平行线所截的线段对应成比例)

又∵OA=OC

∴PE=PG，

∴AC=FG=PF+PG=PE+PF

∴

)当P在DB的延长线上时，如图②，结论为

证明：延长FE交DA的延长线于点G，

∵AC∥FG，

∴，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AO=CO，

∴PF=PG，

∴EG=PG-PE=PF-PE，

又∵AB∥CG，AC∥EG，

∴四边形ACEG为平行四边形，

∴AC=EG，

∴AC=PF-PE，

当P在BD的延长线上时，如图③，结论为

延长EF交BA的延长线于点G，

∵AC∥EF，

∴，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AO=CO，

∴PG=PE，

∴FG=PG-PF=PE-PF，

又∵AC∥EG，AG∥CF，

∴四边形AGFC为平行四边形，

∴FG=AC，

∴AC=PE-PF，

∴．